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• Introducción a la Modelización para la Depuración...

La Modelización Matemática

La modelación de procesos, físicos, químicos o biológicos, es una disciplina de estudio que permite realizar predicciones del comportamiento de un sistema utilizando un modelo y unas condiciones de contorno. Se podría decir que se trata de una forma alternativa a la experimentación para obtener predicciones. Resulta muy útil por lo tanto para sistemas complejos en los que la experimentación lleva mucho tiempo o cuya operación supone costes o riesgos muy elevados (centrales nucleares, térmicas, sistemas biológicos, etc.,).

¿Qué es un Modelo?

Un modelo es un esquema o expresión, normalmente matemática, que refleja un sistema y lo que en él ocurre y que se utiliza para analizar el comportamiento de dicho sistema en ciertas condiciones. Los modelos deben poder predecir el comportamiento de las variables que resultan de interés.

Tipos de Modelos

Existen varios tipos de modelos. Están los modelos mecanicistas (White box), que son modelos cuyos procesos están descritos con mucho detalle y que tienen en cuenta gran cantidad de variables y parámetros. El problema que plantean es que son tan detallados que exigen un gran conocimiento del sistema, de los procesos y de las condiciones y que exige un esfuerzo enorme para la calibración.

Los modelos empíricos (Black box) son modelos mucho más sencillos en cuanto a su calibración ya que buscan una relación matemática que sea capaz de predecir el comportamiento de las variables de interés, sin tener en cuenta ningún proceso interno. Los valores de salida de las variables son función de los valores de muchísimos menos parámetros de entrada, y esto reduce la complejidad en la calibración de estos modelos. Sin embargo, la relación matemática no tiene ningún significado ya que se trata de una relación matemática que no describe el proceso de ningún modo.

Los modelos mecanicistas simplificados (Grey box) son modelos muy versátiles ya que son modelos intermedios cuya complejidad es la elegida por el desarrollador. Cuanto más complejo es el modelo más se aproxima a los mecanicistas, cuantas más simplificaciones se hacen más se parece a un modelo empírico. Son los más utilizados puesto que reducen el esfuerzo necesario en la calibración, ya que simplifican los modelos mecanicistas agrupando procesos. Permiten equilibrar el esfuerzo necesario para su calibración y la información que nos van a ofrecer sobre los procesos que ocurren en el sistema.

Si nos centramos en el desarrollo de modelos para simular la depuración de las aguas residuales, suelen ser modelos mecanicistas simplificados que tratan de simular los procesos por los que se libera al agua de los contaminantes. La modelación en el campo de la depuración se ha centrado en los procesos biológicos de depuración, sobre todo en el sistema de Fangos Activados, aunque hay modelos de sedimentación, de precipitación y de procesos físico-químicos de depuración.

Modelización de Sistemas Biológicos

En la modelación de sistemas biológicos, los primeros modelos matemáticos de eliminación de materia orgánica y nutrientes desarrollados por la IWA y ampliamente aceptados fueron los modelos ASM1 (1987) y ASM2 (1995). En el primero se modelaron la eliminación de materia orgánica y nitrógeno, introduciendo la notación matricial (que luego explicaremos) mientras que en el segundo se incluyó también la eliminación de fósforo. 

En 1999 la IWA lanzó una ampliación del modelo ASM1 con la inclusión de procesos como almacenamiento de compuestos orgánicos o de respiración endógena. Esta ampliación no tuvo demasiado éxito por el mínimo aporte de información con respecto al modelo anterior, en comparación con el aumento de la complejidad de calibración. Sin embargo, en el mismo año la IWA realizó una revisión del ASM2, el ASM2d, en la que se incluyó la desnitrificación de las bacterias PAO y que actualmente es el más utilizado en el desarrollo de las aplicaciones de simulación. Desde 1994, la Universidad Técnica de Delft desarrolla el modelo TUD que amplia el modelo ASM2d con un modelo metabólico de las bacterias PAOs incluyendo el glicógeno en los procesos. En cuanto a los modelos de Digestión Anaerobia, en 2002 aparece el más utilizado actualmente, que es el ADM1.

Los modelos presentan una complejidad elevada en su desarrollo y comprensión. Se basan en la descripción de procesos en los que existen componentes que tienen relaciones estequiométricas y cuya velocidad de ocurrencia del proceso afecta a los compuestos que en él participan. Se basan en realizar balances de materia a través del sistema a lo largo del tiempo:

Acumulación = Entradas - Salidas + Generación - Consumo

Notación Matricial

La notación matricial es la forma más sencilla de presentar toda la información necesaria para definir un modelo. El modelo viene definido por dos matrices, la matriz estequiométrica y la matriz de componentes. Para definir ese modelo tenemos que elegir; 1) los componentes, que son todas las especies que participan en los procesos; 2) los procesos, que son las reacciones físicas, químicas o biológicas que afectan a los componentes; y 3) los materiales a conservar, cuya continuidad es la base para el cálculo de las relaciones estequiométricas.

Matriz Estequiométrica

En la matriz estequiométrica, como su nombre indica, se define la estequiometría de los procesos. En las columnas de la matriz se sitúan los componentes y en las filas se colocan los procesos. Para cada componente se deberá definir la estequiometría en los procesos en los que participe. Generalmente se convienen valores positivos para la generación y valores negativos para la desaparición de los componentes en cada proceso. 

Para el cálculo de la estequiometría en la matriz superior se utiliza la matriz de composición. En la matriz de composición se incluyen los factores de conversión, indicando el contenido de cada material a conservar en cada componente del modelo. Para cada material a conservar se aplica la ecuación de continuidad, de manera que el número de materiales a conservar deben ser tantos como incógnitas hay en la matriz estequiométrica. 

La Cinética del Proceso

Para terminar de definir el modelo por completo, queda la parte más importante, que es la definición de la cinética de los procesos, puesto que nos da información de la velocidad a la que aparecen y desaparecen los componentes. A la hora de definir la cinética para cada proceso existen varias expresiones cinéticas que expresan matemáticamente la evolución temporal de dicho proceso. Existen expresiones cinéticas independientes o de grado 0. Cinéticas lineáles o de primer grado. Y existen cinéticas complejas como las cinéticas exponenciales, de saturación o de Monod, o cinéticas de inhibición.

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